Luento 30.3: Äärellinen sananpituus

Tänään käsiteltiin äärellisen sananpituuden vaikutuksia. Meidän tarkastelussamme nämä ilmenevät A/D-muunnoksen yhteydessä sekä suodatettaessa äärellisellä laskentatarkkuudella. Pääpaino on ensimmäisessä tyypissä. Luennolla käsiteltiin näytteistyksessä käytettävät kvantisointitasot: esimerkiksi (1+7) bitin esityksessä käytettävissä ovat seuraavat 256 tasoa: -128/128, -127/128, ..., 0, ..., 126/128, 127/128. 
 
Pyöristettäessä lähimpään lukuun syntyvä kvantisointivirhe on aina välillä -1/256...1/256. Yleisesti pyöristys (1+b) bittiin aiheuttaa enintään virheen 2^(-b) / 2 suuntaan tai toiseen. Vasemmalla olevassa kuvassa on esimerkkitapaus jossa "seiska" kvantisoidaan 1+9 bittiin.
 
Seuraavaksi tätä yksinkertaista virhemallia käytettiin johdettaessa arvio virheen varianssille, joka on suoraan verrannollinen syntyvän kvantisointivirheen tehoon. Tätä kautta määritellään SNR, eli signaali-kohinasuhde, eli häiriöetäisyys. Tämä suure kertoo jotain äänenlaadusta, ja saatavia tuloksia tullaan tarvitsemaan kappaleessa 6, kun päätellään montako bittiä signaalista uskalletaan poistaa kompressiossa ilman äänenlaadun havaittavaa heikkenemistä.

Jos ehtojen oletetaan olevan voimassa, voidaan osoittaa kohinan odotusarvon olevan nolla ja varianssin yhtä kuin 2^(-2b) / 12.

Yllä olevaa kaavaa voidaan edelleen jalostaa signaali-kohinasuhteen käsitteeksi (SNR), joka kertoo signaalin tehon suhteessa kohinan tehoon. Kun kaavaa pyöriteltiin, havaittiin jokaisen ylimääräisen bitin (per näyte) nostavan SNR:ää kuudella desibelillä.

Lopuksi johdettiin kaava varianssille suodatuksen jälkeen ja sekä tutkittiin suotimen kertoimien pyöristämisen vaikutusta. Tämähän täytyy tehdä aina kun suodin toteutetaan huonomman tarkkuuden alustalla kuin Matlab (esim. tällä 17-bitin DSP:llä).

Toisen tunnin lopuksi käsiteltiin alku kappaleesta "näytteenottotaajuuden muuntelu". Kappale tarkastelee menetelmiä, joilla voidaan muuntaa näytteenottotaajuus näytteistämisen jälkeen toiseksi. Perusoperaatiot ovat desimointi ja interpolointi, jotka toimivat kokonaislukukertoimilla. Näitä yhdistelemällä saadaan kaikki rationaalikertoimet. Molemmat operaatiot tarvitsevat alipäästösuodattimen, joka on yleensä FIR, ja suunnitellaan normaaleilla menetelmillä. 

Luento 16.3: IIR-suodinten suunnittelu

Tänään tutkittiin IIR-suodatusta sekä Matlabin valmiita IIR-suodattimen suunnittelumenetelmiä.

Välikoetta ei ole vielä tarkastettu. Pyrin hoitamaan asian ensi viikkoon mennessä.

IIR-suodinten suunnittelun aluksi muisteltiin ns. pole-zero-placement -suunnittelumenetelmää, jossa hiirellä sijoiteltiin napoja ja nollia yksikköympyrälle ja laskettiin näitä vastaava suodin. Alla olevassa kuvassa on eräs näin saatu napanollakuvio, jossa tavoitellaan alipäästösuodinta. Tätä vastaava amplitudivaste on seuraavassa kuvassa, jossa selvästi erottuu hyppäys ylös- tai alaspäin jokaisen lähellä kehää olevan navan tai nollan kohdalla. Alimmassa kuvassa on vielä esitetty siirtofunktion itseisarvo |H(z)|, josta saadaan keskimmäinen amplitudivasteen |H(exp(iw))| kuvaaja sijoittamalla exp(iw) lausekkeessa z:n tilalle.
 

Menetelmä ei luonnollisestikaan ole kovin tarkka. Kappaleessa 6 esitetäänkin menetelmiä tarkempaan IIR-suodinten suunnitteluun, ja ne käydään melko yleisellä Matlab-komentojen osaamisen tasolla. Kappaleen ydin on koottu monisteen taulukkoon, jossa suodintyyppejä vertaillaan amplitudivasteen ominaisuuksien ja kertoimien määrän suhteen. Kertoimia tarvitaan eri menetelmillä 29+28, 13+12 ja 8+7 kappaletta. Suurin määrä tulee Butterworth-suotimella ja pienin elliptisellä suotimella. Kahden Chebyshev-suotimen kerroinmäärä on näiden kahden ääripään välissä. Vertailun vuoksi FIR-suotimen kertoimien määrä vastaavilla vaatimuksilla olisi N = [5.5/0.035] = 159 käytettäessä Blackman-ikkunaa.

Muita luennolla esiin tulleita seikkoja olivat mm.

• Matlabin kerroinvektorit a ja b eivät ole suoraan käytettävissä ulostulon y(n) laskennassa, vaan takaisinkytkentäkertoimien (siis esim. termin y(n-1) kertoimen) merkki täytyy vaihtaa vastakkaiseksi.

• Elliptisellä suotimella on aina vähemmän kertoimia kuin muilla. Lisäksi tasavärähtely-ominaisuus on yleensä hyvä asia.

IIR-suotimen etuna on siis pienempi kertoimien tarve. Haittapuolina mahdollinen epästabiilisuus sekä numeeriset ongelmat toteutuksessa. Tästä esimerkkinä on esim. kurssin SGN-16006 signaaliprosessorityö, jossa täytyy toteuttaa IIR-suodin. Käytännössä yli toisen asteen IIR-suodinta ei voi toteuttaa numeeristen ongelmien vuoksi. Sen sijaan suodin täytyy jakaa peräkkäisiin toisen asteen lohkoihin esim. Matlabin TF2SOS-funktiolla. Harjoitustyössä on yhtenä tehtävänä ns. Goertzel-algoritmin toteutus yksittäisen taajuuden tunnistuksessa. Goertzel-algoritmi hyödyntää epästabiilia suodinta, joka vahvistaa etsittävää taajuutta äärettömän paljon. Tästä ei kuitenkaan seuraa katastrofia, jos suotimen annetaan toimia vain vähän aikaa (esim 256 näytettä).

Luento 9.3: Suodinsuunnittelu käytännössä

Tänään käsiteltiin kappale 5 loppuun. Alussa oli alla olevan kuvan mukainen demo, jossa suotimen kertoimien määrää kasvatettiin ja havaittiin ettei amplitudivastetta saa tällä keinolla tiettyjen rajojen alle.

Tämän jälkeen käytiin kappale 5 loppuun, ja todettiin että suodinsuunnittelu sisältää seuraavat vaiheet. 

1. Valitse ikkuna vaimennusvaatimusten perusteella.
2. Päättele tarvittava kertoimien määrä N siirtymäkaistan leveyden (delta_f) perusteella.
3. Laske ideaalinen impulssivaste (vaatii siirtymäkaistan keskipisteen f_c laskennan).
4. Kerro ideaalinen impulssivaste valitun ikkunafunktion lausekkeella.

Taululla ratkaistiin toukokuun 2013 tentin tehtävä 4, jossa suodinsuunnittelu tehdään alusta loppuun paperilla. Yleisiä tentissä esiintyviä virheitä ovat:

1. Muuttujat f_c ja delta_f sekoittuvat keskenään
2. Käytetään normalisoimattomia taajuuksia (esim. 11000 eikä 11000/32000)
3. Rajataajuudet on laskettu väärin tai sekoitettu keskenään.
4. Ikkuna on valittu väärin tai N on laskettu väärin.
5. Lopputuloksessa on avoimia muuttujia (f_c, delta_f tai N).

Toisen tunnin lopuksi luotiin katsaus kahteen sovellukseen. Ensimmäinen oli Kaggle-alustalla ollut epilepsian tunnistuskilpailu, jonka olennaisena komponenttina on EEG-signaalin jako taajuuskaistoihin. Kilpailun aineisto oli huomattavan suuri, joten ennustuksen vaatimasta laskennasta valtaosa kului taajuuksien erottelussa (eli suodatuksessa). Sijoituimme kilpailussa sijalle 31.

Luento 24.2: Suodinsuunnittelu

Tänään tutustuttiin suodinsuunnitteluun ikkunamenetelmällä. Suunnittelukriteerit ovat kahtalaiset: suotimen taajuusvasteen määräämiseksi pitää tietää millainen vaihevaste halutaan ja millainen amplitudivaste halutaan.

Vaihevasteen osalta vaaditaan että kaikkien taajuuksien tulee viivästyä yhtä paljon. Tämä toteutuu jos vaihevaste on lineaarinen. Yksinkertaisimmissa tapauksissa vaihevasteen lauseke voi olla siis esimerkiksi muotoa -2w, joka taatusti on lineaarinen. Matlabissa tällainen kuvaaja saadaan esim. komennoilla:

>> [H,W] = freqz([1, 1, 1]);
>> plot(angle(H));
>> grid on

Freqz-funktiosta saa siis ulos taajuusvastefunktion arvoja vektorissa H. Vektorissa on lueteltu taajuusvasteen kompleksiset lukuarvon 512:ssa pisteessä taajuusakselilla. 

Vaihevasteen derivaatasta käyteään nimeä ryhmäviive, ja se ilmaisee suoraan eri taajuuksille tulevan viiveen näytteinä (miinusmerkkisenä). Lopuksi todettiin, että vaihevaste on aina lineaarinen, jos impulssivasteen termit ovat symmetrisesti keskipisteen suhteen.

Amplitudivasteen osalta tavoitteena on saada vaste päästökaistalla ykköseksi ja estokaistalla nollaksi. Käytännössä tämä ei ole mahdollista, vaan suotimelle täytyy antaa hieman toleranssia ja sallia tietty määrä värähtelyä molemmilla kaistoilla. Lisäksi kaistojen väliin täytyy sallia "don't care" -alue, jossa amplitudivaste saa olla mitä vain.

Prujussa ratkaistaan mikä impulssivaste toteuttaisi ideaalisen amplitudivasteen (arvot vain nollaa tai ykköstä). Osoittautuu että impulssivasteen muoto on tuttu sinc-funktio, mutta sen pituus on ääretön. Tämän vuoksi suotimesta ei saataisi ainuttakaan vastearvoa koskaan, vaan laskentaa tarvittaisiin äärettömän paljon.

Tästä ongelmasta päästään katkaisemalla impulssivaste, mutta tämä luonnollisesti vaikuttaa amplitudivasteeseen. Oikealla olevan kuvan mukaisen demottiin, että suoralla katkaisulla ei estokaistan värähtelyä saada millään alle n. 21 desibelin, ja päästökaistallakin suurin heitto on luokkaa 0.7 dB. Ratkaisu tähän on käyttää ikkunointia, eli kertoa katkaistu impulssivaste jollain ikkunafunktiolla. Näin voidaan päästä parempiin vaimennusominaisuuksiin.

Ideaalisen suotimen impulssivasteen pituus on ääretön, eikä sitä voi käytännössä toteuttaa. Näin ollen impulssivaste on katkaistava, mistä seuraa vääristymä amplitudivasteeseen. Matlab-testeillä havaittiin, että tätä ei voi kompensoida esim. kertoimia lisäämällä, vaan on käytettävä ikkunaa, joka pehmentää katkaisun vaikutusta. Ikkunoita on lueteltu esim. sivun 84 taulukossa, ja mitä paremmat vaimennusominaisuudet niillä on, sitä leveämpi siirtymakaistasta tulee. Onneksi tätä voidaan kuitenkin kompensoida kertoimia lisäämällä.

Opin myös tänään yleisökysymyksestä että Fourierin menetelmät -kurssilla ollut sigma-approksimaatiotekniikka on hyvin lähellä meidän ikkunamenetelmäämme. Molemmat pyrkivät eliminoimaan Gibbsin ilmiön eli värähtelyn taajuuskaistojen reunoilla.

Luento 17.2: Z-muunnoksen laskenta ja suotimen analyysi

Tänään käsiteltiin suotimen analysointi (kappale 4) melkein loppuun.

Menetelmässähän ratkaistaan ensin impulssivaste, sitten siirtofunktio ja lopuksi taajuusvaste. Taajuusvaste on kompleksifunktio, joten sitä ei voida sellaisenaan piirtää 2-ulotteiseen koordinaatistoon. Näin ollen piirretään kaksi kuvaajaa: funktion itseisarvon kuvaaja sekä sen vaihekulman kuvaaja. Näistä edellinen kertoo kuinka paljon eri taajuuksien amplitudit muuttuvat suodatuksessa ja jälkimmäinen paljonko ne viivästyvät suodatuksessa. Amplitudivaste on näistä mielenkiintoisempi, koska sen avulla taajuuksia saadaan esim. poistettua yksinkertaisesti huolehtimalla että amplitudivaste ko. taajuudella on nolla.Vaihevaste puolestaan kertoo paljonko eri taajuudet viivästyvät suodatettaessa.

Amplitudivastetta tarkasteltaessa on kätevämpi käyttää desibeliasteikkoa, joka on logaritminen. Logaritmi tekee kertolaskusta yhteenlaskua, ja korostaa lähellä nollaa olevia eroja, jotka molemmat ovat meille käteviä ominaisuuksia.

Kappaleen 4 kaksi viimeistä lukua käytiin läpi ratkaisemalla kevään 2013 toukokuun tentin tehtävä 4. Tässä tehtävässä on annettu suotimen yhtälö, josta täytyy ratkaista siirtofunktio, piirtää napa-nollakuvio sekä päätellä stabiilisuus.

Luennolla nähtiin 2 demoa: ensimmäisessä tutkittiin napa-nollakuvion ja taajuusvasteen suhdetta. Taajuusvastehan saadaan siirtofunktiosta H(z) evaluoimalla se pisteissä z = exp(iw). Geometrisesti tämä tarkoittaa yksikköympyrän reaaliakselin yläpuolella olevia pisteitä. Jokainen napa-nollakuvion nolla laskee taajuusvastetta ja jokainen napa nostaa taajuusvastetta. Tästä nähtiin alla olevan kuvan mukainen demo, jossa hiirellä voidaan sijoitella napoja ja nollia yksikköympyrälle. Alimpaan kuvaan piirtyy jokaisen klikkauksen jälkeen suotimen amplitudi- ja taajuusvasteet. 

Toisena demona tutkittiin taajuusvasteen visualisointia alemman animaation mukaisesti. Vasemman yläkulman kuvaajassa ovat kaikki termit exp(-iwk), jotka on kerrottu suotimen kertoimilla oikean yläkulman kuvassa (siis h(k)exp(-iwk)). Näiden summa vektoriesityksenä on puolestaan vasemmassa alakulmassa, jonka etäisyys origosta (amplitudivaste) on kuvattu alaoikealla.

Luento 10.2: Z-muunnos

Ensimmäisen tunnin aluksi luotiin katsaus Fourier-muunnoksen ja sen yleistysten soveltamiseen koneoppimisessa. Fourier-analyysissähän kysytään kuinka paljon kutakin sinisignaalia on mukana tarkasteltavassa signaalissa. Yleisempi muoto on käyttää jotain muuta signaalikokoelmaa, tai oppia tämä kokoelma datasta. Klassiset menetelmät ovat pääkomponenttianalyysi (PCA) tai Helsingissä kehitetty riippumattomien komponenttien analyysi (ICA), joissa signaalit esitetään sellaisten rakennuspalikoiden avulla että suuria kertoimia tulee mahdollisimman vähän.

Käytimme erästä tällaista hajotelmaa (SPAMS dictionary learning) osallistuessamme Kaggle-alustalla organisoituun linnunlauluntunnistuskilpailuun. Alkuvaiheessa käytimme mm. Fourier-muunnosta, mutta pelkkä taajuuksien analyysi ei tuottanut tulosta. Tämän vuoksi päätimme oppia "sanakirjan" suoraan datasta, ja toivoimme että sanakirjaan päätyisi tyypillisiä eri lintulajien viserryksiä. Näiden viserrysten lukumäärä toimi sitten indikaattorina siitä mitä lintulajeja äänityksessä oli.

Alun ekskursion jälkeen tarkasteltiin Z-muunnosta ja sen tärkeimpiä ominaisuuksia. Z-muunnoksen avulla voidaan selvittää mm. suotimen stabiilisuus: suodin on stabiili jos kaikki siirtofunktion navat ovat yksikköympyrän sisäpuolella.

Tässä yhteydessä tutkittiin myös napa-nollakuvion ja taajuusvasteen suhdetta. Tästä nähtiin alla olevan kuvan mukainen demo, jossa hiirellä voidaan sijoitella napoja ja nollia yksikköympyrälle. Alimpaan kuvaan piirtyy jokaisen klikkauksen jälkeen suotimen amplitudi- ja taajuusvasteet; niin että jokainen nolla aiheuttaa sakaran alaspäin ja jokainen napa huipun ylöspäin.

Luento 3.2: FFT-algoritmi

Tänään tarkasteltiin Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, sovelluksia sekä nopeaa toteutusta.

Luennon aluksi käytiin läpi v. 2014 toukokuun tentin tehtävä 2b, jossa laskettiin käsin neljän mittainen Fourier muunnos (ks. myös videon esimerkki). 

Seuraavaksi tutustuttiin Fourier-muunnoksen käyttöön alkeellisessa puheentunnistimessa. Kirjan Elements of statistical learning kappaleessa 5.2.3 opetetaan tietokone erottelemaan kaksi vokaalia niiden Fourier-muunnosten perusteella. Menetelmä on nimeltään logistinen regressio, joka monimutkaisista kaavoista huolimatta on varsin yksinkertainen toteuttaa: menetelmä etsii kertoimet kullekin Fourier-muunnoksen taajuudelle, ja laskee tulokset yhteen. Jos luku on positiivinen, tulkitaan äänne ä-kirjaimeksi, muutoin a-kirjaimeksi.

Menetelmää demottiin Matlab-toteutuksella, jossa luokittelija opetettiin erottamaan S-äänne muista äänteistä näyttämällä luokittimelle esimerkkejä kahteen luokkaan kuuluvista Fourier-muunnoksista. Menetelmä toimi kohtalaisen hyvin ottaen huomioon opetusaineiston erot testiaineistoon. Matlab-koodi löytyy alta.
 
Esimerkki kuvaa hyvin tämän päivän signaalinkäsittelyalgoritmia: perusmenetelmiä (Fourier-muunnos, konvoluutio, jne.) käytetään piirregeneraattoreina, jotka tuottavat hieman parempaa raakadataa kuin suora mittaussignaali (esim. taajuustietoa eikä raakaa mittausdataa). Laskettujen piirteiden perusteella sitten nostetaan tiedon abstraktiotasoa edelleen. Esimerkiksi äänteen tunnistuksessa hierarkia on esimerkiksi seuraava:

16000 aikatason näytettä -> 128 taajuustason kerrointa -> 1 bitti, joka kertoo kumpi äänne on kyseessä

Tämän jälkeen siirryttiin tarkastelemaan Fourier-muunnoksen ominaisuuksia. Ominaisuuksista tutustuttiin lähemmin siirtoon ajassa (esim. laske signaalin x(n+20) muunnos, kun tiedetään x(n):n muunnos) sekä konvoluution muunnokseen (DFT muuntaa konvoluution kertolaskuksi, eli x(n)*y(n) -> X(n)Y(n)). Aivan luennon lopussa mainittiin yhteys ns. dekonvoluutioon joka on konvoluutiolle käänteinen operaatio. Menetelmää käytetään muun muassa matkaviestinnän siirtotien häiriöiden korjaukseen sekä Hubble-teleskoopin alkuaikoina, jolloin yhdessä peilissä olleen hiontavirheen vuoksikuvat olivat sumuisia. Kuvantamisprosessia voidaan nimittäin mallintaa (kaksilulotteisella) konvoluutiolla

y(n,m) = h(n,m) * x(n,m),

missä x on todellinen näkymä, y on havaittu sumuinen kuva, ja h on linssin impulssivaste (nk. point spread function; PSF). Yhtälössä y ja h ovat tunnettuja, ja tehtävänä on ratkaista x. Ratkaisu löytyy taajuustasossa, koska

Y(n,m) = H(n,m) X(n,m),

joten (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):

x(n,m) = ifft (Y(n,m) ./ H(n,m)).

Dekonvoluutiosta on hyötyä yleisemminkin lineaarisen kanavan aiheuttaman häiriön poistossa. Jos tiedetään signaalin x kulkeneen kanavan h läpi, voidaan vastaanotetusta mittaustuloksesta y päätellä x, jos meillä on joku käsitys kanavasta h. Esimerkkinä tästä on esim.mainittu  langattoman tiedonsiirtokanavan estimointi ja sen aiheuttaman vääristymän kompensointi.

Toinen menetelmän tuottama etu on että Fourier-muunnoksen (käytännössä FFT:n) avulla voidaan laskea konvoluutio kaavasta (Matlabin syntaksilla ilmaistuna):

conv(x,y) = ifft(fft(x) .* fft(y))

Lisäksi käsiteltiin nopeaa Fourier-muunnosta eli FFT:tä, joka on vain nopeampi tapa toteuttaa diskreetti Fourier-muunnos (DFT). FFT perustuu signaalin jakamiseen lyhyempiin pätkiin, jotka muunnetaan jakamalla ne edelleen rekursiivisesti kahtia. Rekursio päättyy, kun muunnoksen pituus on 1, jolloin muunnosta ei tarvitse enää tehdä. 1-ulotteisen vektorin tapauksessa muunnosmatriisi on yksinkertaisesti F = [1], joka tarkoittaa pelkkää ykkösellä kertomista eikä sitä tarvitse tehdä. Lyhyemmistä vektoreista saadaan koostettua pidemmät vektorit kaavoilla (3.3) ja (3.4).

Alla on vielä luennon esimerkkikoodi S-kirjaimen tunnistuksesta. Funktio käyttää Stanfordin yliopistossa kehitettyä glmnet-pakettia. 
 

function vokaalin_tunnistus()
%
% Esimerkki vokaalin ja S-kirjaimen erottelusta äänisignaalista.
% heikki.huttunen@tut.fi -- 4.2.2015
%

close all

addpath /home/hehu/Documents/Libraries/glmnet_matlab/

% Ladataan opetusaineisto:

[x, Fs] = audioread('seiska.wav');

[X, H, numFrames] = extractFeatures(x, Fs);
title ('Merkitse S-kirjaimet hiirella');

isConsonant = zeros(numFrames, 1);

while true
    
    [x1, y1] = ginput(1);
    [x2, y2] = ginput(1);
    
    if x1 > x2
        xt = x1;
        x1 = x2;
        x2 = xt;
    end
    
    isConsonant(round(x1 * numFrames) : round(x2 * numFrames)) = 1;
    
    response = questdlg('Jatketaanko annotointia?', ...
        'Kysymys', ...
        'Kyllä', 'Ei', 'Kyllä');
    
    if strcmp(response, 'Ei')
        break
    end
    
end

cvob2 = cvglmnet(X, isConsonant, 'binomial', [], 'class');
yHat = glmnetPredict(cvob2.glmnet_fit, X, cvob2.lambda_min, 'response');

coefficients = H * cvob2.glmnet_fit.beta(:, cvob2.lambda == cvob2.lambda_min);

figure()
subplot(211)
plot(yHat);
ylabel('S-kirjaimen TN')
subplot(212)
stem(coefficients)

response = questdlg('Valmiina tunnistamaan?', ...
        'Tunnistus', ...
        'OK', 'OK');

while true
    
    close all

    myRecObj = audiorecorder(Fs, 16, 1);
    recordblocking(myRecObj, 2);
    y = getaudiodata(myRecObj);

    X = extractFeatures(y, Fs);
    yHat = glmnetPredict(cvob2.glmnet_fit, X, cvob2.lambda_min, 'response');

    figure()
    plot(yHat);

    response = questdlg('Jatketaanko tunnistusta?', ...
        'Kysymys', ...
        'Kyllä', 'Ei', 'Kyllä');
    
    if strcmp(response, 'Ei')
        break
    end
    
end

end

function [F, H, numFrames] = extractFeatures(x, Fs)

    [~,f,t,S] = spectrogram(x, 256, 128, 256, Fs, 'yaxis');
    surf(t, f, 10*log10(abs(S)), 'EdgeColor', 'none');
    axis xy; axis tight; colormap(jet); view(0,90);

    S = log10(S)';
    
    H = [];
    n = (1:size(S, 2))';
    
    for k = 0:3
        H = [H, n.^k];
    end
    
    F = S * H;
    numFrames = size(S, 1);
    
end